二重积分变量替换-永久免费的源码丞旭猿

陈纪修数学分析写了三页，这里做一个小小的梳理与总结。按照我的理解。

当在一个坐标系下不好求解的东西我们可以换一个坐标架去看。f（x,y）dxdy=g(u,v)Jdudv这个是我们想要得到的变换关系，而其中比较简单的方法，是取在f（x(u,v),y(u,v)）上构建g（u,v）。也就是说当取一定的uv得到一定的xy时候，f（x,y）的值等于g（u,v）这样的构造很容易，仅需要把xy换成uv表达式即可。于是我们仅用考虑J。J就是面积变换的比例也就是Jacobi行列式。

首先是条件：

①xy关于uv有连续偏导数②J≠0③区域D为分段光滑有界闭区域④f在D上连续

总体思路：由于面积的变换可能会很复杂，比如你可以让一个正方形变成一个五角星或什么诡异的东西。所以想到的是将映射T拆解为两个简单映射的复合，这是因为两个映射的复合带来的面积的简单变换关系。

首先是本原映射。如果一个T可以拆解成两个简单的岂不很妙？一个本原映射的面积可以用原始面积乘以一个二元函数值来表示，这个二元函数是由中值定理得到的。于是在第一个关于x的本原变换下，我们可以看到的是面积间的线性关系。当然，是在取定了一个关于x的本原映射之后。然后再基于原来的变换的结果进行下一组关于y的变换。这个时候，我们以一个再uv坐标架下被扭曲的曲线为ε，把它拉直，然后再进行本原变换。这里又有线性的关系。于是我们最后得到xy的面积，可以通过原始uv的面积线性表出。这个是最精美的地方。

书上考虑了很多细节，比如取点。我们对面积变换时候利用中值定理需要一次取点，然后在黎曼积分的时候还需要一次取点，但由于这个取点具有任意性，不妨取在一处，方便。然后担心在内点处这个是没问题的，但是在边界可能会出现危险。于是用夸张的放缩在13.3.2论述了这个边界由于是零面积集，然后f（x,y）由于在紧集上有非无穷最值，所以这个边界上的积分不用担心。

最后，受限于我们运用两个本原映射的复合需要用到隐函数定理。但是这个定理只能在局域上成立。于是我们可以取很多小的区域。但为了防止积分发散，我们用有限覆盖定理，知道有有限个开覆盖，这样最后结果不会发散的无穷。

每个小区域上都允许面积的类似线性的变换，然后关于f的取值还是原样。最后我们证明了可以用不同坐标来表示

同一个积分。而且关系除了简单的把变量换一个名字外，只需要添加上两个自变量——自变量为面积元——的转换关系，也就是Jacobi行列式

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